概要
前回の読書、すげー面白かった。
読書感想文ではサマリと所感のエッセンスを書いたんだけども、この本については練習問題を解くのも楽しかったので、印象的なとこを記事に残しておこうと思って。
楽しめた練習問題
逆行列の逆行列を求めろ!
\[
(A^{-1})^{-1} = ?
\]
これは定義上、もともとの行列に戻るんだけれど、納得いかなかったぼくは成分計算をした。
\[
\frac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
- c & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w & x \\
y & z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
これを丁寧に掛け算していくと、こう↓なる。
\[
dw - by = ad - bc
\]
\[
dx - bz = 0
\]
\[
- cw + ay = 0
\]
\[
- cx + az = ad - bc
\]
すると最終的にこう↓なるわけだ。こんなふうに掛け算をめちゃくちゃやっていると、知らんうちに、あのめちゃくちゃヤバい掛け算のやり方を覚えちゃうってわけだ。
\[
\begin{pmatrix}
w & x \\
y & z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]
根気よく計算しましょう
この等式↓の証明。
\[
(A + B) C = AC + BC
\]
行列の分配法則 (distributive law) "えぇ……全部の行列を成分で書いて計算するしか思いつかないけどな……"、って思ってたら……
解答に "成分使って根気よく計算しましょう" って書いてあってワロタ。こんなふうになる↓
\[
\left(
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
w & x \\
y & z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w & x \\
y & z
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w & x \\
y & z
\end{pmatrix}
\]
ちゃんとやったよ。
解けない等式も存在する
ムズかったけど面白かったのがコレ。こんな X はあるか? っていう問題。
\[
X
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+1 \\
y
\end{pmatrix}
\]
まずこうして↓
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+1 \\
y
\end{pmatrix}
\]
連立方程式つくって↓
\[
\begin{cases}
(a - 1)x + by = 1 \quad (1) \\
cx + (d - 1)y = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]
(2) の c と d は 0 と 1 で確定する。一方で、 a と b はどうしても決まらんので、不可! というのが答えになる問題だ。
ぼくは、はじめ、これを見たときどの時点で "不可!" と言い切っていいのか感覚がよくわかんなくて苦労した。絶対成り立たない恒等式 (identity) が作業の中で登場するっていうのが、慣れていないと混乱しちゃう。
こんなふうに考えたらいいんかな: 等式を見たとき、方程式なのか恒等式なのか、どっちなのかを意識する。
- 今回って、等式の中にある変数を全部求めるんだっけ?
- 全部解いて、変数を全部消したいんだったら、それは方程式
- 今回の x, y みたいに、求めちゃいけない (= 最後まで変数が等式に残る) なら、それは恒等式。とくに
(...) x + (...) y = 0以外の数 っていうかたちのときは脳内アラートを鳴らすこと
そもそもなにを答えたらいいのかわかんねーよ
これ↓を
\[
x + 2y = 2
\]
これ↓で変換したらどんな図形になる?
\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\]
という問題だ。……どんな図形ってどういうことだよｗ
なにを答えたらいいのかわかんねーよ: 方程式を書けば、それは座標平面上の図形を表していることになる。なので \(x + 2y = 2\) がどんな \(ax + by = c\) へ化けるか答えればいいわけよ。
